一个元素k，则，则，则k+k=2k也在也在也在S中，所以\\2k=k，，，k=0，矛盾。因此，矛盾。因此，矛盾。因此S$至少有两个元素。
更正：如果S′={0}S'=\\{0\\}S′={0}，则S={k0}S=\\{k_0\\}S={k0}。此时k0+k0=2k0k_0+k_0=2k_0k0+k0=2k0必须等于k0k_0k0，这意味着k0=0k_0=0k0=0，与正整数矛盾。所以S′S'S′不可能只有0。
再思考：如果SSS中所有元素都是k0k_0k0的倍数，即S={k0i∈Z+,≥1}S=\\{k_0|\\\\athbb{Z}^+,\\ge1\\}S={k0i∈Z+,≥1}，这也是题目结论的一种形式。这种情况对应于上述推导中d=k0d=k_0d=k0的情形。
秦风的笔尖在答题卡上飞舞，每一个步骤都清晰明了，逻辑严谨。对于他而言，完成这种“标准解法”，不过是热身运动。
“嗯，常规方法虽然稳妥，但……总感觉少了点意思。”秦风写完最后一个句号，心中暗道。他那颗被“理论极限推演”能力和“跨学科知识融通”能力打磨得无比敏锐的大脑，对于这种仅仅停留在“解出”层面的操作，已经有些“不满足”了。
他抬起头，目光再次落在那道题目上，眼神中闪过一丝玩味。
“这道题的结构，其实还挺漂亮的。如果换个角度看，会不会有更……有趣的风景呢？”
在“灵感火花·必中”被动技能的加持下，无数的数学思想如同夜空中璀璨的星辰，在他脑海中交相辉映。
他拿起旁边的草稿纸，嘴角勾起一抹只有他自己才能理解的笑容。
“那么，我们来玩点不一样的。”
第一种巧妙解法：利用裴蜀定理与最大公约数的性质
秦风的笔尖在草稿纸上飞快地勾勒起来。
他首先指出，由条件1可知，如果x1,x2,…,x∈Sx_1,x_2,\\dots,x_\\Sx1,x2,…,x∈S，那么它们的任意正整数系数线性组合∑cixi\\suc_ix_i∑cixi（其中ci∈Z+c_i\\\\athbb{Z}^+ci∈Z+）也在SSS中（通过反复作加法得到）。
然后，他考虑集合SSS中所有元素的最大公约数，记为d=gcd?(S)d=\\gcd(S)d=gcd(S)。根据裴蜀定理的推广，必然存在SSS中的有限个元素s1,s2,…,sps_1,s_2,\\dots,s_ps1,s2,…,sp以及整数c1,c2,…,cpc_1,c_2,\\dots,c_pc1,c2,…,cp，使得∑cisi=d\\suc_is_i=d∑cisi=d。
“这里的关键在于，我们能否保证这些系数cic_ici都是正的，或者通过SSS的加法封闭性构造出ddd。”秦风心中暗忖。
他迅速调整思路：“不直接用裴蜀定理构造ddd。而是证明，如果d=gcd?(S)d=\\gcd(S)d=gcd(S)，那么对于足够大的NNN，所有大于等于NNN且是ddd的倍数的整数，都可以表示成SSS中元素的正整数系数线性组