)={∑i=1cisiisi∈S,ci∈Z}I(S)=\\{\\su_{i=1}^c_is_i|s_i\\S,c_i\\\\athbb{Z}\\}I(S)={∑i=1cisiisi∈S,ci∈Z}。”
“由于Z\\athbb{Z}Z是主理想整环，所以I(S)I(S)I(S)必然可以由一个元素生成，即I(S)=(d0)I(S)=(d_0)I(S)=(d0)，其中d0=gcd?(S)d_0=\\gcd(S)d0=gcd(S)。”
“这说明，SSS中所有元素的最大公约数d0d_0d0，可以表示为SSS中元素的整数线性组合。”
“接下来，我们需要将这个结论与SSS本身的加法封闭性以及正整数下界联系起来。”
秦风的思路开始转向一个在大学代数学中才会详细讨论的概念——数值半群（NuricalSeigroup）。一个数值半群是由一组正整数在加法下生成的，且其最大公约数为1的半群。着名的Frobeniproble就是研究这类半群的一个经典问题。
“如果gcd?(S)=d\\gcd(S)=dgcd(S)=d，那么我们可以考虑集合S\/d={s\/dis∈S}S\/d=\\{s\/d|s\\S\\}S\/d={s\/dis∈S}。这个新的集合，其元素的最大公约数为1，并且仍然满足加法封闭性。根据数值半群的理论，一个最大公约数为1的加法封闭正整数集合，必然会包含从某个足够大的整数（称为Frobeni数）之后的所有整数。”
“结合条件2，SSS中的元素都有下界kkk，这意味着S\/dS\/dS\/d中的元素也有下界k\/dk\/dk\/d。那么，S\/dS\/dS\/d必然是形如{0,0+1,0+2,…?}\\{_0,_0+1,_0+2,\\dots\\}{0,0+1,0+2,…}的形式，或者是一个有限集合（但这与加法封闭性以及包含所有足够大整数的性质似乎有矛盾，除非S本身就是某个数的倍数集）。”
秦风的笔尖飞快地在纸上跳跃，一行行抽象的符号和逻辑推演，看得旁边偶尔瞥见的考生头皮发麻，感觉自己仿佛在看一本来自外星球的数学天书。
“幺半群？理想？Frobeni数？这……这都是什么鬼东西？！”
“我确定我参加的是高中数学竞赛，不是大学数学系的博士资格考试吗？”
“妈妈，我想退赛！这个秦风根本就不是跟我们在一个次元比赛啊！”
考场前排，那两位一直密切关注着秦风的监考老师，此刻已经彻底石化了。
“老……老张……你……你看得懂他在写什么吗？”戴金丝眼镜的中年监考老师，声音都有些发颤，他指着秦风草稿纸上那些他只在大学选修抽象代数时才见过的符号，感觉自己的认知受到了毁灭性的冲击。
经验丰富的老监考员张老师，此刻也是一脸的呆滞，他使劲揉了揉自己的眼睛，又扶了扶差点滑落的老花镜，喃喃道：“如果我没看错的话……他……他好像在用……在用代数结构理论……来分析这道数论题？”
“这……这已经完全超出了高中竞赛的范畴了吧？！这……这简直是降